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Dans un mail, un étudiant qui finissait son projet de séries temporelles m’a posé une question simple et intéressante (que je me permets de reprendre ici): “ quand on cherche à stationnariser une série, on a souvent besoin de différencier deux fois, et ça marche tout le temps “. Effectivement, on peut toujours différencier une série, on finira bien par tomber sur une série stationnaire. Je retraduirais cette question sous la forme suivante “ pourquoi cherche-t-on toujours à stationnariser les séries ? ” ou encore “ est-ce gênant de différencier une série ? “. Pour la première question, la réponse est simple: les seules séries que l’on sache modéliser sont les séries stationnaires. Les autocorrélations se calculent sur des séries stationnaires, par exemple, et la non-stationnarité n’est pas une notion simple à définir (tout comme la non-indépendance entre variables aléatoires)…..etc. Pour la seconde question, la réponse est simple: si on différencie une série pour mieux la modéliser, si on souhaite par la suite faire de la prévision, il conviendra d’intégrer la série modélisée. Or intégrer une série fait exploser l’intervalle de confiance. Autant faire ça sur un exemple simple, avec la série suivante, que l’on commence par supposer stationnaire, et que l’on prédit sur une trentaine de valeurs, avec un intervalle de confiance.

Mais si l’on suppose la série intégrée à l’ordre 1, on différencie puison modélise par un processus stationnaire (c’est l’idée qui sous-tend les processus ARIMA, à savoir un processus ARMA : en différenciant la série, on devrait tomber sur un processus ARMA. On peut rattacher ça à la notion de racine unité). La prédiction (avec l’intervalle de confiance) est alors présenté sur la série initiale. Le fait d’intégrer les erreurs fait que la variance de la prédiction augmente avec l’horizon.

Et si l’on continue, et que l’on différencie de fois la série avant de la modéliser, et que l’on intègre deux fois les erreurs, l’intervalle de confiance devient immense !

Bref, il convient de ne pas différencier si ce n’est pas vraiment indispensable ! L’outil pour vérifier que l’on n’a pas trop différencier est la fonction d’ autocovariance inverse (c’est à dire la fonction d’autocovariance d’une série dont la densité spectrale serait l’inverse de la densité spectrale initiale * ). Cette fonction fait partie des fonctions de base sous SAS, mais pas sous R… J’ai cherchéun peu, mais sans succès. L’argument dans les forums est que cette fonction est redondante avec la fonction d’autocorrélation partielle. Et en effet, si la finalité est simplement de détecter les ordres AR ou MA d’une série stationnaire, alors effectivement, les deux fonctions s’utilisent de manière équivalente. Mais la fonction d’autocovariance inverse apporte plus d’information, en particulier afin de détecter si l’on n’a pas surdifférencié la série. La sortie suivante présente la fonction d’autocorrélation (à gauche) et la fonction d’autocorrélation inverse (à droite) sur une série.

On note que la série semble intégrée (en pratique, des autocorrélations très fortes et persistantes très longtemps se traduit par une suspission d’intégration). Si l’on différencie la série, on obtient les autocorrélogrammes suivants,

Et si l’on différencie une nouvelle fois, on obtient les graphiques suivants,

Bref, l’autocorrélogramme de droite semble caractéristique d’une série intégrée: on dira alors que l’on a surdifférencié le modèle (“en intégrant la série, elle est toujours stationnaires”…). Je parle un peu de tout ça dans mon polycopié de Dauphine, tome 1.

* J’avais parlé dans un ancien billet (ici) de l’importance de la densité spectrale en série temporelles. L’idée est que si f est une densité spectrale, 1/f peut également l’être. Le lien entre la fonction d’autocorrélation et la densité spectrale est donné par des théorèmes de Kolmogorov ou Wiener. Pour plus de détails, il y a des compléments dans le chapitre 1.2 du polycopié que j’avais fait à Dauphine (). On peut d’ailleurs noter que la fonction d’autocorrélation partielle d’un processus ARMA(p,q) est la fonction d’autocorrélation d’un processus ARMA(q,p) obtenu en permutant les deux polynômes d’opérateurs retard.

3 thoughts on “Différencier (indéfiniment) les séries temporelles ?”

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Mis à jour le 02/07/2018
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Maintenant que l'on en sait un peu plus sur le C++, si on commençait à pratiquer pour entrer dans le vif du sujet ?

Ah mais oui, c'est vrai : vous ne pouvez pas programmer tant que vous ne disposez pas des bons logiciels ! En effet, il faut installer certains logiciels spécifiques pour programmer en C++. Dans ce chapitre, nous allons les mettre en place et les découvrir ensemble.

Un peu de patience : dès le prochain chapitre, nous pourrons enfin commencer à véritablement programmer !

Alors à votre avis, de quels outils un programmeur a-t-il besoin ? Si vous avez attentivement suivi le chapitre précédent, vous devez en connaître au moins un !

Vous voyez de quoi je parle ?

Eh oui, il s'agit du compilateur , ce fameux programme qui permet de traduire votre langage C++ en langage binaire !

Il en existe plusieurs pour le langage C++. Mais nous allons voir que le choix du compilateur ne sera pas très compliqué dans notre cas.

Bon, de quoi d'autre a-t-on besoin ? Je ne vais pas vous laisser deviner plus longtemps. Voici le strict minimum pour un programmeur :

Un éditeur de texte pour écrire le code source du programme en C++. En théorie un logiciel comme le Bloc-Notes sous Windows ou vi sous Linux fait l'affaire. L'idéal, c'est d'avoir un éditeur de texte intelligent qui colore tout seul le code, ce qui vous permet de vous y repérer bien plus facilement. Voilà pourquoi aucun programmeur sain d'esprit n'utilise le Bloc-Notes.

Un éditeur de texte

Un compilateur pour transformer (« compiler ») votre code source en binaire.

Un compilateur

Un débugger (« Débogueur » ou « Débugueur » en français) pour vous aider à traquer les erreurs dans votre programme (on n'a malheureusement pas encore inventé le « correcteur », un truc qui corrigerait tout seul nos erreurs).

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Des véhicules circulent sur le côté sud de l'autoroute 101, à l'ouest de Ventura, où des vents violents provoquent une croissance explosive des incendies. Photo : AFP/FREDERIC J. BROWN

Des centaines d'écoles de l'agglomération de LosAngeles ont été fermées, jeudi, après la naissance d'un brasier en pleine ville. Pendant ce temps, cinq autres feux de forêt alimentés par de puissants vents menacent toujours le sud de la Californie.

Radio-Canada avec Reuters, Agence France-Presse et Associated Press

Los Angeles est menacée par le feu Skirball, qui a pris naissance mercredi au coeur de la métropole. Il s’étend sur environ 2 km 2 et menace notamment le musée du Getty Center, ses oeuvres de Monet et de Rembrandt, ainsi que le quartier Bel-Air, prisé par des milliardaires comme Beyoncé et Elon Musk.

Aux dernières nouvelles, Skirball était contenu à 20%. Pour l’heure, les vents qui soufflent sur la ville sont moins puissants que prévu.

Les autorités parlent même d’un petit miracle, mais elles ajoutent du même souffle que si les vents augmentaient d’intensité, la situation à Los Angeles pourrait rapidement s'aggraver.

La colline du quartier de Shadow Hills, à Los Angeles, est la proie des flammes. Photo : Getty Images/Mario Tama

Plusieurs sections de l'autoroute 405 ont dû être temporairement fermées, occasionnant des embouteillages monstres dans une agglomération déjà connue pour son trafic infernal.

L'autoroute 405, généralement congestionnée, est déserte après avoir été fermée pendant l’heure de pointe matinale dans le secteur de Skirball, à Los Angeles. Photo : Getty Images/Mario Tama

Pour le moment, le maire de Los Angeles, Eric Garcetti, demande aux 230000personnes qui ont fui leur maison de ne pas y retourner.

Avec la chaleur, cela forme un environnement très menaçant.

Les secouristes ne déplorent aucune victime à Los Angeles.

Le prochain bilan des autorités est prévu vendredi à 15h (heure locale).

Sans précédent

Les incendies de forêt Baskets Pic Baskets Élément Hommes Blancs PbO41
sont déjà les plus mortels de l'histoire de l'État. Pas moins de 40 personnes ont perdu la vie dans des feux qui ont ravagé le nord de l'État Cushe Shakra Baskets Bassetop Femmes Gris Clair / Surf Chaux FUbnaLHV
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Pour ce qui est des feux en cours, les vents qui les alimentent ne sont pas anormaux pour la saison, explique Loïc Pialat, journaliste basé à Los Angeles. C'est plutôt le manque de précipitations significatives depuis le mois de mars qui est exceptionnel, poursuit-il.

«La saison des incendies semble s’allonger, ce qui inquiète les autorités, dit M. Pialat. La végétation n’est habituellement pas aussi sèche à ce moment de l'année. Tout cela est lié aux changements climatiques et indique que ce type de feu pourrait bien devenir la norme dans les prochaines années.»

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